Bài tập 8, § 3

Cho $T$ là một không gian tôpô và $m$ là một ánh xạ bị chặn, cộng tính đếm được (xem Bài tập 1d)) từ $\mathscr{B}(T)$ vào $\mathbf{R}$. Ký hiệu $\mathscr{T}$ là tập hợp các tập con Borel $A$ của $T$ có tính chất sau: với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập đóng $F$ và một tập mở $U$ trong $T$ sao cho $F \subset A \subset U$ và $|m|(B) < \varepsilon$ với mọi tập con Borel $B$ của $U - F$ (nói cách khác, $|m|(U - F) < \varepsilon$). Chứng minh rằng $\mathscr{T}$ là một họ các tập con của $T$ (trước hết nhận xét rằng $T \in \mathscr{T}$ và rằng $\mathscr{T}$ là một vành; sau đó chỉ cần chứng minh rằng nếu $(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy các phần tử rời nhau từng đôi một của $\mathscr{T}$, thì tập hợp $A = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} A_n$ thuộc $\mathscr{T}$; để làm điều này, chọn các tập đóng $F_n$ và các tập mở $U_n$ sao cho $F_n \subset A_n \subset U_n$ và $|m|(U_n - F_n) < \varepsilon/2^n$, rồi đặt $F = F_0 \cup \cdots \cup F_p$ với $p$ đủ lớn và $U = \bigcup_{n \in \mathbf{N}} U_n$).