Exercice 1, § 5

Soient T un espace topologique et $\mu$ une mesure positive sur T. On note $\mathfrak{S}_\mu$ l'ensemble des parties de T dont la frontière est $\mu$-négligeable. a) Montrer que $\mathfrak{S}_\mu$ est un clan. b) Si T est complètement régulier, tout point de T a un système fondamental de voisinages contenu dans $\mathfrak{S}_\mu$ (remarquer que, si $f$ est une fonction continue sur T, nulle en dehors d'un ensemble $\mu$-intégrable, l'ensemble des nombres réels r tels que $f^{-1}(r)$ ne soit pas $\mu$-négligeable est dénombrable).