Exercice 2, § 5

Soient T un espace complètement régulier et $\mathfrak{F}$ un filtre sur $\mathscr{M}_+^b(T)$ qui converge étroitement vers une mesure bornée $\mu$. On dit qu'une partie borélienne A de T est un ensemble de convergence (pour $\mathfrak{F}$) si l'on a $\lim_{\lambda, \mathfrak{F}} \lambda_A = \mu_A$. a) Si les ensembles disjoints $A_1$ et $A_2$ sont des ensembles de convergence, il en est même de $A_1 \cup A_2$.

EXERCICES

b) Soit A un ensemble ouvert ou fermé. Pour que A soit un ensemble de convergence, il faut et il suffit que l’on ait $\lim \lambda^*(A) = \mu^*(A)$. Si A est un ensemble de convergence, il en est de même de $T - A$.

c) Soient A un ensemble de convergence ouvert ou fermé de T, et B un ensemble de convergence tel que $T - B$ soit aussi un ensemble de convergence. Alors $A \cup B$ et $A \cap B$ sont des ensembles de convergence, ainsi que leurs complémentaires.

d) Le clan engendré par les ensembles ouverts de convergence est formé d’ensembles de convergence.

e) Soit A une partie de T, dont la frontière est $\mu$-négligeable. Alors A est un ensemble de convergence.

f) Supposons que T soit localement compact ou polonais. Montrer que toute partie compacte K de T est contenue dans un ensemble compact de convergence (dans le cas où T est localement compact, utiliser l’exercice 1, b)). Si T est polonais, utiliser le même exercice pour construire une suite de recouvrements finis $U_p$ de K par des ensembles ouverts de T, de frontière $\mu$-négligeable et de diamètre $< 2^{-p}$; montrer que $L = \bigcap_p \bigcup_{U \in U_p} \overline{U}$ est compact et conclure que c’est un ensemble de convergence par b)).

g) Etendre le résultat de f) au cas d’une suite convergente de mesures sur un espace métrique complet.