Bài tập 2, § 5

Cho $T$ là một không gian hoàn toàn chính quy và $\mathfrak{F}$ là một bộ lọc trên $\mathscr{M}_+^b(T)$ hội tụ chặt đến một độ đo bị chặn $\mu$. Một tập con Borel $A$ của $T$ được gọi là một tập hội tụ (đối với $\mathfrak{F}$) nếu $\lim_{\lambda, \mathfrak{F}} \lambda_A = \mu_A$.

a) Nếu các tập rời nhau $A_1$ và $A_2$ là các tập hội tụ, thì $A_1 \cup A_2$ cũng là một tập hội tụ.

b) Cho $A$ là một tập mở hoặc đóng. Để $A$ là một tập hội tụ, điều kiện cần và đủ là $\lim_{\lambda, \mathfrak{F}} \lambda^*(A) = \mu^*(A)$. Nếu $A$ là một tập hội tụ, thì $T - A$ cũng là một tập hội tụ.

c) Cho $A$ là một tập hội tụ mở hoặc đóng trong $T$, và $B$ là một tập hội tụ sao cho $T - B$ cũng là một tập hội tụ. Khi đó $A \cup B$ và $A \cap B$ là các tập hội tụ, cũng như các phần bù của chúng.

d) Họ clan sinh bởi các tập hội tụ mở gồm các tập hội tụ.

e) Cho $A$ là một tập con của $T$ mà biên của nó là $\mu$-không đáng kể. Khi đó $A$ là một tập hội tụ.

f) Giả sử rằng $T$ là compact địa phương hoặc Polish. Chứng minh rằng mọi tập compact $K$ của $T$ được chứa trong một tập hội tụ compact (trong trường hợp $T$ là compact địa phương, sử dụng Bài tập 1 b). Nếu $T$ là Polish, sử dụng cùng bài tập để xây dựng một dãy các phủ hữu hạn $\mathscr{U}_p$ của $K$ bởi các tập con mở của $T$, có biên $\mu$-không đáng kể và đường kính $< 2^{-p}$; chứng minh rằng $L = \bigcap_p \bigcup_{U \in \mathscr{U}_p} \overline{U}$ là compact và kết luận rằng nó là một tập hội tụ theo b)).

g) Mở rộng kết quả của f) cho trường hợp một dãy hội tụ các độ đo trên một không gian metric đầy đủ.