Exercice 9, § 5

Les notations et hypothèses sont celles de l'exercice précédent. Soit $(\mu_n)$ une suite de Cauchy pour la distance D dans $\mathscr{M}_+^b$; montrer que la suite $(\mu_n)$ est convergente (ce qui donne une nouvelle démonstration du fait que l'espace $\mathscr{M}_+^b$ est polonais pour la topologie étroite). On pourra procéder ainsi: a) Soient $\varepsilon > 0$ et $a > 0$ deux nombres réels; il existe une partie finie F de T telle que $\sup_n \mu_n^\bullet(T - F^a) \leq \varepsilon$ (choisir un entier $N \geq 1$ et une partie compacte K de T tels que $\sup_{n \geq N} D(\mu_n, \mu_N) \leq \varepsilon/2$ et $\mu_N^\bullet(T - K) \leq \varepsilon/2$; en déduire $\sup_{n \geq N} |\mu_n^\bullet(T) - \mu^\bullet(T)| \leq \varepsilon$ et $\sup_{n \geq N} \mu_n^\bullet(T - K^{a/2}) \leq \varepsilon$; choisir enfin une partie finie F de T telle que $K^{a/2} \subset F^a$ et $\sup_{n < N} \mu_n^\bullet(T - F^a) \leq \varepsilon$. b) Soit $\varepsilon > 0$; il existe une partie compacte K de T telle que $\sup \mu_n^\bullet(T - K) \leq \varepsilon$ (choisir pour tout entier $p \geq 1$ une partie finie $F_p$ de T telle que $\sup \mu_n^\bullet(T - (F_p)^{2^{-p}}) \leq \varepsilon/2^p$ et poser $K = \bigcap_{p \geq 1} (F_p)^{2^{-p}}$. c) Déduire de b) que l'on peut extraire de la suite de Cauchy $(\mu_n)$ une suite convergente (pour la distance D).