Bài tập 9, § 5

Các ký hiệu và giả thiết là những ký hiệu và giả thiết của bài tập trước. Cho $(\mu_n)$ là một dãy Cauchy trong $\mathscr{M}_+^b$ đối với mêtric D; hãy chỉ ra rằng dãy $(\mu_n)$ là hội tụ (điều này cho một chứng minh mới của sự kiện rằng không gian $\mathscr{M}_+^b$ là Polish đối với tôpô chặt). Có thể tiến hành như sau:

a) Cho $\varepsilon > 0$ và $a > 0$ là hai số thực; tồn tại một tập con hữu hạn F của T sao cho $\sup_n \mu_n^\bullet(T - F^a) \leq \varepsilon$ (chọn một số nguyên $N \geq 1$ và một tập con compact K của T sao cho $\sup_{n \geq N} D(\mu_n, \mu_N) \leq \varepsilon/2$ và $\mu_N^\bullet(T - K) \leq \varepsilon/2$; suy ra từ đó rằng $\sup_{n \geq N} |\mu_n^\bullet(T) - \mu^\bullet(T)| \leq \varepsilon$ và $\sup_{n \geq N} \mu_n^\bullet(T - K^{a/2}) \leq \varepsilon$; cuối cùng, chọn một tập con hữu hạn F của T sao cho $K^{a/2} \subset F^a$ và $\sup_{n < N} \mu_n^\bullet(T - F^a) \leq \varepsilon$.

b) Cho $\varepsilon > 0$; tồn tại một tập con compact K của T sao cho $\sup \mu_n^\bullet(T - K) \leq \varepsilon$ (với mọi số nguyên $p \geq 1$ chọn một tập con hữu hạn $F_p$ của T sao cho $\mu_n^\bullet(T - (F_p)^{2^{-p}}) \leq \varepsilon/2^p$, và đặt $K = \bigcap_{p \geq 1} (F_p)^{2^{-p}}$).

c) Suy ra từ b) rằng dãy Cauchy $(\mu_n)$ có một dãy con hội tụ (đối với mêtric D).