Exercice 4, § 3

Les espaces T, T’, X et les mesures $\mu, \mu', v$ ayant la même signification que dans l’exerc. 3, on considère l’espace produit $Y = T \times X = T \times (T \times T')$, et sur Y la mesure produit $\varpi = \mu \otimes v$. Si, pour $t \in T$, on pose $\rho_t = \varepsilon_t \otimes v$, on a $\varpi = \int \rho_t \, d\mu(t)$. Soit H une partie de T non mesurable pour $\mu$ (chap. IV, 2e éd., § 4, exerc. 8), et soit A la partie de Y formée des points $(t_1, t_2, t_3)$ satisfaisant aux conditions $t_1 = t_3, t_2 \in H$. Montrer que la fonction caractéristique $\varphi_A$ est localement négligeable pour $\varpi$, mais que, pour aucune valeur de $t \in T$, $\varphi_A$ n’est $\rho_t$-mesurable.