Exercice 8, § 3

Soit $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ une application de $T$ dans $\mathscr{M}_+(X)$. a) Soient $\mu_1, \ldots, \mu_n$ des mesures sur $T$ et $\mu = \mu_1 + \ldots + \mu_n$. Pour que $\Lambda$ soit $\mu$-adéquate, il faut et il suffit que $\Lambda$ soit $\mu_i$-adéquate pour tout $i$ (utiliser le lemme de décomposition). b) Supposons que $\mu$ soit la borne supérieure d’une famille filtrante croissante $(\mu_i)_{i \in I}$. Pour que $\Lambda$ soit $\mu$-adéquate, il faut et il suffit que $\Lambda$ soit $\mu_i$-adéquate pour tout $i \in I$, et scalairement essentiellement $\mu$-intégrable. c) Supposons que $\mu$ soit somme d’une famille sommable $(\mu_j)_{j \in J}$ de mesures positives. Pour que $\Lambda$ soit $\mu$-adéquate il faut et il suffit que $\Lambda$ soit $\mu_j$-adéquate pour tout $j \in J$, et que $\Lambda$ soit scalairement essentiellement $\mu$-intégrable. d) Pour que $\Lambda$ soit $\mu$-adéquate, il faut et il suffit que $\Lambda$ soit scalairement essentiellement $\mu$-intégrable, et que $\Lambda$ soit $\mu'$-pré-adéquate pour toute mesure $\mu' \leq \mu$ à support compact.