Bài tập 8, § 3

Cho $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ là một ánh xạ của T vào $\mathscr{M}_+(X)$. a) Cho $\mu_1, \ldots, \mu_n$ là các độ đo trên T, và $\mu = \mu_1 + \cdots + \mu_n$. Để $\Lambda$ là $\mu$-thích đáng, điều kiện cần và đủ là $\Lambda$ là $\mu_i$-thích đáng với mọi $i$ (sử dụng bổ đề phân tích). b) Giả sử rằng $\mu$ là cận trên đúng của một họ có hướng tăng $(\mu_i)_{i \in I}$. Để $\Lambda$ là $\mu$-thích đáng, điều kiện cần và đủ là $\Lambda$ là $\mu_i$-thích đáng với mọi $i \in I$ và khả tích $\mu$-theo nghĩa vô hướng thiết yếu. c) Giả sử rằng $\mu$ là tổng của một họ khả tổng $(\mu_j)_{j \in J}$ các độ đo dương. Để $\Lambda$ là $\mu$-thích đáng, điều kiện cần và đủ là $\Lambda$ là $\mu_j$-thích đáng với mọi $j \in J$ và $\Lambda$ khả tích $\mu$-theo nghĩa vô hướng thiết yếu. d) Để $\Lambda$ là $\mu$-thích đáng, điều kiện cần và đủ là $\Lambda$ khả tích $\mu$-theo nghĩa vô hướng thiết yếu và $\Lambda$ là $\mu'$-tiền-thích đáng với mọi độ đo $\mu' \leq \mu$ có giá đỡ compact.