Exercice 10, § 5

a) Soit $\mu$ une mesure positive diffuse $\neq 0$ sur un espace localement compact $T$. Montrer qu’il existe dans $\mathscr{L}^1(T, \mu)$ une suite de fonctions $f_n$ telle que $N_1(f_n) = 1$ pour tout $n$ et telle que la suite des mesures diffuses $f_n \cdot \mu$ converge vaguement vers une mesure ponctuelle $\varepsilon_a$. En déduire que $L^1(T, \mu)$ (et par suite aussi $L^\infty(T, \mu)$) n’est pas réflexif.

b) Soit $\nu$ une mesure positive atomique sur $T$, dont le support est infini. Soient $A$ le plus petit ensemble portant $\nu$, $B$ une partie infinie dénombrable de $A$ et $\lambda$ la mesure $\varphi_B \cdot \nu$. Montrer que le dual de $L^\infty(T, \lambda)$ n’est pas de type dénombrable, et par suite ne peut être isomorphe à $L^1(T, \lambda)$ (cf. Esp. vect. top., chap. I, 2e éd., § 2, exerc. 1).

c) Déduire de a) et b) que, pour qu’une mesure positive $\mu$ sur un espace localement compact $T$ soit telle que $L^1(T, \mu)$ soit réflexif, il faut et il suffit que le support de $\mu$ soit fini (utiliser l’exerc. 9).