Bài tập 10, § 5

a) Cho $\mu$ là một độ đo dương khuếch tán $\neq 0$ trên một không gian địa phương compact $T$. Chứng minh rằng tồn tại trong $\mathscr{L}^1(T, \mu)$ một dãy hàm $f_n$ sao cho $N_1(f_n) = 1$ với mọi $n$ và sao cho dãy các độ đo khuếch tán $f_n \cdot \mu$ hội tụ mơ hồ đến một độ đo điểm $\varepsilon_a$. Từ đó, suy ra rằng $L^1(T, \mu)$ (do đó cả $L^\infty(T, \mu)$) không phản xạ.

b) Cho $\nu$ là một độ đo dương nguyên tử trên $T$, có giá đỡ là vô hạn. Cho $A$ là tập hợp nhỏ nhất mang $\nu$, $B$ là một tập con vô hạn đếm được của $A$, và $\lambda$ là độ đo $\varphi_B \cdot \nu$. Chứng minh rằng đối ngẫu của $L^\infty(T, \lambda)$ không tách được, do đó không thể đẳng cấu với $L^1(T, \lambda)$ (xem TVS, I, §2, Bài tập 1).

c) Suy ra từ a) và b) rằng, để một độ đo dương $\mu$ trên một không gian địa phương compact $T$ có tính chất $L^1(T, \mu)$ là phản xạ, điều kiện cần và đủ là giá đỡ của $\mu$ hữu hạn (sử dụng Bài tập 9).