Exercice 13, § 5

Soient T un espace localement compact, $\mu$ une mesure positive sur T, $(f_n)$ une suite de fonctions de $L^1(T, \mu)$; on pose $\mu_n = f_n \cdot \mu$ et pour tout ensemble $\mu$-mesurable A,

a) Montrer que, si T n’est pas compact, la suite $(f_n)$ peut être non bornée dans $L^1(T, \mu)$ mais telle que la suite des intégrales $\int f_n g \, d\mu$ soit bornée pour toute $g \in \mathscr{K}(T)$.

b) Montrer que, si la suite $(\mu_n(A))$ est bornée pour toute partie A de T réduite à un point et pour tout ensemble ouvert A tel que la mesure induite par $\mu$ sur la frontière de A ait un support fini, la suite $(f_n)$ est bornée dans $L^1$ ou, ce qui revient au même, la suite des normes $\| \mu_n \|$ est bornée. (On montrera d’abord que tout point $t_0$ de T admet un voisinage ouvert U tel que la suite des nombres $|\mu_n|(U)$ soit bornée. Pour cela, on raisonnera par l’absurde, en prouvant que, dans le cas contraire, on pourrait construire une suite strictement croissante $(n_k)$ d’entiers, une suite décroissante $(U_k)$ de voisinages de $t_0$ et une suite $(W_k)$ d’ensembles ouverts quarrables pour $\mu$ (chap. IV, 2e éd., § 5, exerc. 13) ayant les propriétés suivantes : $\overline{U}_k \subset U_{k-1}$, $\mu(U_k - \{t_0\}) \leq 1/k$, $|\mu_{n_i}|(U_k - \{t_0\}) \leq 1$ pour $i < k$, $\overline{W}_k \subset U_k - \overline{U}_{k+1}$ et finalement

Considérer enfin la réunion W des $W_k$, pour obtenir une contradiction (« méthode de la bosse glissante »). Montrer ensuite par un raisonnement analogue qu’il existe une partie compacte K de T telle que la suite des $|\mu_n|(T - K)$ soit bornée.) c) Déduire de b) que si, pour tout ensemble ouvert A de T, la suite $(\mu_n(A))$ est bornée, la suite $(f_n)$ est bornée dans $\mathscr{L}^1$. d) Sur l’intervalle $[0, 1]$, si on prend pour $\mu_n$ la mesure définie par la masse $n$ au point $t = 0$, la masse $-n$ au point $t = 1/n$, la suite $(\mu_n(A))$ est bornée pour tout ensemble ouvert A, quarrable pour toutes les mesures $|\mu_n|$; mais la suite des normes $\|\mu_n\|$ est non bornée. De même, si on prend pour $\mu_n$ la mesure définie par la masse $n$ au point $t = 1/n$, la masse $-n$ au point $t = 1/(n + 1)$, la suite $(\mu_n(A))$ est bornée pour tout intervalle contenu dans $[0, 1]$ (et par suite pour toute partie finie A), sans que la suite $(\|\mu_n\|)$ soit bornée.