Bài tập 13, § 5

b) Cho $H$ là một không gian compact hyperstonian, và cho $(\mu_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các độ đo dương chuẩn trên $H$ sao cho hợp của các giá của các $\mu_\iota$ là trù mật trong $H$. Hãy chứng minh rằng, để một tập hợp là không đâu trù mật trong $H$, điều kiện cần và đủ là nó $\mu_\iota$-không đáng kể đối với mọi $\iota \in I$ (nhận xét rằng nếu $A$ là $\mu_\iota$-không đáng kể, thì $\overline{A}$ cũng vậy (Bài tập 11 b)). Suy ra từ đó rằng trong một không gian hyperstonian, mọi tập hợp loại thứ nhất đều là không đâu trù mật.

c) Với các giả thiết giống như trong b), hãy chứng minh rằng nếu $f$ là một hàm số đo được theo $\mu_\iota$ đối với mọi $\iota \in I$, thì tồn tại một hàm liên tục $g$ trên $H$ sao cho $f$ và $g$ trùng nhau trên phần bù của một tập hợp không đâu trù mật (sử dụng b) và Bài tập 11 b)).

d) Cho $H$ là một không gian hyperstonian. Hãy chứng minh rằng tồn tại một họ $(G_\alpha)_{\alpha \in A}$ các tập con khác rỗng vừa mở vừa đóng của $H$, từng đôi một rời nhau, có hợp $T$ trù mật trong $H$, và sao cho với mọi $\alpha \in A$, tồn tại một độ đo dương chuẩn $\mu_\alpha$ trên $G_\alpha$ có giá $G_\alpha$ (áp dụng bổ đề Zorn cho tập hợp các họ các độ đo dương chuẩn trên $H$ có các giá đôi một rời nhau, và sử dụng Bài tập 11 a)). Cho $\mu$ là độ đo trên $T$ mà hạn chế của nó trên mỗi $G_\alpha$ là $\mu_\alpha$ (Ch. III, §2, Mệnh đề 1). Hãy chứng minh rằng ánh xạ, ánh xạ mỗi hàm $f \in \mathscr{C}(H)$ vào lớp trong $L^\infty(T, \mu)$ của hạn chế của nó trên $T$, là một đẳng cấu của không gian Banach $\mathscr{C}(H)$ lên $L^\infty(T, \mu)$ (sử dụng c) để chứng minh rằng ánh xạ là toàn ánh).

¶ 13) Cho T là một không gian compact địa phương, $\mu$ là một độ đo dương trên T, và $(f_n)$ là một dãy các hàm trong $\mathscr{L}^1(T, \mu)$; đặt $\mu_n = f_n \cdot \mu$ và, với mọi tập hợp $\mu$-đo được A,

a) Hãy chứng minh rằng nếu T không compact, có thể xảy ra rằng dãy $(f_n)$ không bị chặn trong $\mathscr{L}^1(T, \mu)$ nhưng dãy các tích phân $\int f_n g \, d\mu$ bị chặn với mọi $g \in \mathscr{H}(T)$.

b) Chứng minh rằng nếu dãy $(\mu_n(A))$ bị chặn đối với mọi tập con A của T thu gọn về một điểm và đối với mọi tập mở A sao cho độ đo cảm sinh bởi $\mu$ trên biên của A có giá hữu hạn, thì dãy $(f_n)$ bị chặn trong $\mathscr{L}^1$, hay, điều tương đương, dãy các chuẩn $(\| \mu_n \|)$ bị chặn. (Trước hết chứng minh rằng mọi điểm $t_0$ của T đều có một lân cận mở U sao cho dãy các số $|\mu_n|(U)$ bị chặn. Muốn vậy, ta lập luận bằng phản chứng bằng cách chứng minh rằng, trong trường hợp ngược lại, ta có thể xây dựng một dãy tăng ngặt $(n_k)$ các số nguyên, một dãy giảm $(U_k)$ các lân cận của $t_0$, và một dãy $(W_k)$ các tập mở đo được đối với $\mu$ (Ch. IV, §5, Exer. 17) có các tính chất sau: $\overline{U}_k \subset U_{k-1}$, $\mu(U_k - \{t_0\}) \leq 1/k$, $|\mu_{n_i}|(U_k - \{t_0\}) \leq 1$ đối với $i < k$, $\overline{W}_k \subset U_k - \overline{U}_{k+1}$, và cuối cùng

Cuối cùng, xét hợp W của các $W_k$, để thu được một mâu thuẫn (phương pháp 'bướu trượt'). Sau đó chứng minh bằng một lập luận tương tự rằng tồn tại một tập con compact K của T sao cho dãy $|\mu_n|(T - K)$ bị chặn.)

c) Suy ra từ b) rằng nếu, đối với mọi tập mở A của T, dãy $(\mu_n(A))$ bị chặn, thì dãy $(f_n)$ bị chặn trong $\mathscr{L}^1$.

d) Trên khoảng $[0, 1]$, nếu lấy cho $\mu_n$ độ đo được xác định bởi khối lượng n tại điểm $t = 0$ và khối lượng $-n$ tại điểm $t = 1/n$, thì dãy $(\mu_n(A))$ bị chặn đối với mọi tập mở A đo được đối với mọi độ đo $|\mu_n|$; tuy nhiên, dãy các chuẩn $\| \mu_n \|$ không bị chặn. Tương tự, nếu lấy cho $\mu_n$ độ đo được xác định bởi khối lượng n tại điểm $t = 1/n$ và khối lượng $-n$ tại điểm $t = 1/(n+1)$, thì dãy $(\mu_n(A))$ bị chặn đối với mọi khoảng A được chứa trong $[0, 1]$ (do đó đối với mọi tập con hữu hạn A) mà không có việc dãy $(\| \mu_n \|)$ bị chặn.