Exercice 16, § 5

a) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $\mathscr{L}^1(T, \mu)$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

$\alpha)$ La suite $(\tilde{f}_n)$ est convergente dans $L^1$ pour la topologie affaiblie $\sigma(L^1, L^\infty)$.

$\beta)$ L’ensemble des $\tilde{f}_n$ est relativement compact dans $L^1$ pour la topologie affaiblie, et la suite des mesures $f_n \cdot \mu$ converge vaguement dans $\mathscr{M}(T)$.

$\gamma)$ Pour toute partie ouverte $U$ de $T$, la suite des nombres $\int_U f_n \, d\mu$ est convergente dans $\mathbf{R}$.

(Pour prouver que $\beta$ entraîne $\alpha$), utiliser le critère $\alpha$ de l’exerc. 15 et la définition d’une fonction mesurable. Pour prouver que $\gamma$ entraîne $\beta$), considérer d’abord le cas particulier de l’espace $L^1(\mathbf{N})$ (mesure discrète définie par la masse +1 en chaque point) en utilisant l’exerc. 4 de Esp. vect. top., chap. IV, § 5. Dans le cas général, appliquer le critère $\zeta$ de l’exerc. 15 pour se ramener au cas de $L^1(\mathbf{N})$, en associant à chaque $f_n$ la suite sommable $(\int_{U_m} f_n \, d\mu)_{m \in \mathbf{N}}$.

b) Déduire de ces résultats que, dans $L^1$, toute suite de Cauchy pour la topologie affaiblie est convergente pour cette topologie.

c) Sur l’intervalle $T = \{0, 1\}$, soit $\mu$ la mesure de Lebesgue, et pour tout entier $n \geqslant 1$, soit $\mu_n$ la mesure définie par la masse $1/n$ en chacun des points $k/n$ ($0 \leqslant k < n$); soit $\nu$ une mesure positive sur $T$ telle que $\mu = g \cdot \nu, \mu_n = f_n \cdot \nu$ (exerc. 4 b)). Montrer que la suite $(\mu_n)$ converge vaguement vers $\mu$, $\mu_n(A)$ tend vers $\mu(A)$ pour toute partie finie $A$ de $T$, et pour tout ensemble ouvert $A$ tel que la mesure induite par $\nu$ sur la frontière de $A$ ait un support fini, mais que $\mu_n(U)$ ne tend pas vers $\mu(U)$ pour tous les ensembles ouverts $U \subset T$ (cf. exerc. 13 b)).