Bài tập 16, § 5

a) Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm trong $\mathscr{L}^1(\mathrm{T}, \mu)$. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương:

α) Dãy $(\widetilde{f}_n)$ hội tụ trong $L^1$ đối với tôpô yếu hơn $\sigma(L^1, L^\infty)$.

β) Tập hợp các $\widetilde{f}_n$ là tương đối compact trong $L^1$ đối với tôpô yếu hơn, và dãy các độ đo $f_n \cdot \mu$ hội tụ mơ hồ trong $\mathscr{M}(\mathrm{T})$.

γ) Với mọi tập con mở $\mathrm{U}$ của $\mathrm{T}$, dãy các số $\int_{\mathrm{U}} f_n \, d\mu$ là hội tụ trong $\mathbf{R}$.

(Để chứng minh rằng β) suy ra α), hãy dùng tiêu chuẩn α) của Exer. 15 và định nghĩa của hàm đo được. Để chứng minh rằng γ) suy ra β), trước hết xét trường hợp đặc biệt của không gian $L^1(\mathbf{N})$ (đối với độ đo rời rạc được xác định bởi khối lượng +1 tại mỗi điểm) bằng cách sử dụng Exer. 15 của TVS, IV, §2. Trong trường hợp tổng quát, áp dụng tiêu chuẩn ζ) của Exer. 15 để rút gọn về trường hợp $L^1(\mathbf{N})$, bằng cách gán cho mỗi $f_n$ dãy khả tổng $(\int_{\mathrm{U}_m} f_n \, d\mu)_{m \in \mathbf{N}}$.)

b) Suy ra từ các kết quả này rằng, trong $L^1$, mọi dãy Cauchy đối với tôpô yếu hơn đều hội tụ đối với tôpô đó.

c) Trên khoảng $\mathrm{T} = [0, 1]$, cho $\mu$ là độ đo Lebesgue và, với mỗi số nguyên $n \geqslant 1$, cho $\mu_n$ là độ đo được xác định bởi khối lượng $1/n$ tại mỗi điểm $k/n$ ($0 \leqslant k < n$); cho $\nu$ là một độ đo dương trên $\mathrm{T}$ sao cho $\mu = g \cdot \nu$, $\mu_n = f_n \cdot \nu$ (Exer. 4 b)). Chứng minh rằng dãy $(\mu_n)$ hội tụ mơ hồ về $\mu$, $\mu_n(A)$ tiến tới $\mu(A)$ với mọi tập con hữu hạn $A$ của $\mathrm{T}$ và với mọi tập mở $A$ sao cho độ đo cảm sinh bởi $\nu$ trên biên của $A$ có giá hữu hạn, nhưng rằng $\mu_n(U)$ không tiến tới $\mu(U)$ đối với mọi tập mở $U \subset \mathrm{T}$ (cf. Exer. 13 b)).