Exercice 18, § 5

Soit $A$ un ensemble contenu dans $L^r \cap L^s$ et borné à la fois dans $L^r$ et dans $L^s$ ($1 < r < s < +\infty$). Montrer que, pour tout $p$ tel que $r \leq p \leq s$, $A$ est borné dans $L^p$, et que les topologies induites sur $A$ par les topologies affaiblies des $L^p$ sont identiques (remarquer que $\mathscr{H}(T)$ est dense dans tous les espaces $L^q$ où $1 \leq q < +\infty$). Montrer que la propriété cesse d’être valable si $r = 1$ (cf. exerc. 17 a)).