Exercice 19, § 5

Soit $\mu$ une mesure positive sur $T$.

a) Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $\mathscr{L}^p$ ($1 < p < +\infty$) bornée dans $\mathscr{L}^p$ et convergente en mesure vers 0. Montrer que la suite $(\tilde{f}_n)$ converge vers 0 dans $L^p$ pour la topologie affaiblie.

b) Donner un exemple de suite $(f_n)$ de fonctions de $\mathscr{L}^1$, bornée dans $\mathscr{L}^1$ et convergente en mesure vers 0, mais telle que la suite $(\tilde{f}_n)$ ne converge pas vers 0 pour la topologie affaiblie de $L^1$ (prendre pour $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = \{0, 1\}$, et utiliser le critère $\alpha$ de l’exerc. 15).

c) Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $T = \{0, 1\}$. Montrer que, si $f_n(t) = \sin nt$, la suite $(\tilde{f}_n)$ converge vers 0 pour la topologie affaiblie de tous les $L^p$ tels que $1 \leq p < +\infty$, mais ne converge pas en mesure vers 0.