Bài tập 19, § 5

Cho $\mu$ là một độ đo dương trên $T$. a) Cho $(f_n)$ là một dãy các hàm trong $\mathscr{L}^p$ ($1 < p < +\infty$) bị chặn trong $\mathscr{L}^p$ và hội tụ theo độ đo về 0. Chứng minh rằng dãy $(\widetilde{f}_n)$ hội tụ về 0 trong $L^p$ đối với tôpô yếu hơn. b) Cho một ví dụ về một dãy $(f_n)$ các hàm trong $\mathscr{L}^1$, bị chặn trong $\mathscr{L}^1$ và hội tụ theo độ đo về 0, nhưng sao cho dãy $(\widetilde{f}_n)$ không hội tụ về 0 đối với tôpô yếu hơn của $L^1$ (lấy $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0,1]$, và dùng tiêu chuẩn $\alpha$) của Bài tập 15). c) Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0,1]$. Chứng minh rằng, nếu $f_n(t) = \sin nt$, thì dãy $(\widetilde{f}_n)$ hội tụ về 0 đối với tôpô yếu hơn của mọi $L^p$ sao cho $1 \leq p < +\infty$, nhưng $f_n$ không hội tụ theo độ đo về 0.