Exercice 22, § 5

Dans l’espace de Banach $E = \mathscr{M}^1(T)$ des mesures bornées sur un espace localement compact $T$, soit $H$ un ensemble compact pour la topologie affaiblie.

a) Montrer que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une mesure positive $\mu_\varepsilon$ sur $T$ telle que toute mesure $\nu \in H$ soit somme d’une mesure de base $\mu_\varepsilon$ et d’une mesure $\lambda$ étrangère à $\mu_\varepsilon$ et de norme $\leq \varepsilon$. (Utiliser le fait que l’espace $E$, muni de sa norme et de sa structure d’ordre, est isomorphe à un espace $L^1(S, \rho)$ où $S$ est réunion d’espaces compacts stoniens et $\rho$ une mesure positive sur $S$ (chap. IV, § 4, exerc. 10), et appliquer, dans $L^1(S, \rho)$, le critère $\alpha_1$ de l’exerc. 15.)

b) Déduire de a) qu’il existe sur $T$ une mesure positive $\mu$ telle que toutes les mesures $\nu \in H$ soient de base $\mu$ (utiliser l’exerc. 4 b)).