Bài tập 22, § 5

Trong không gian Banach $E = \mathscr{M}^1(T)$ của các độ đo bị chặn trên một không gian địa phương compact $T$, cho $H$ là một tập compact đối với tôpô yếu.

a) Chứng minh rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một độ đo dương $\mu_\varepsilon$ trên $T$ sao cho mọi độ đo $\nu \in H$ là tổng của một độ đo dương có cơ sở $\mu_\varepsilon$ và một độ đo $\lambda$ kỳ dị đối với $\mu_\varepsilon$ và có chuẩn $\leq \varepsilon$. (Sử dụng sự kiện rằng không gian $E$, được trang bị chuẩn và cấu trúc cấp của nó, là đẳng cấu với một không gian $L^1(S, \rho)$, trong đó $S$ là hợp của các không gian Stone compact và $\rho$ là một độ đo dương trên $S$ (Ch. IV, §4, Exer. 10), và áp dụng trong $L^1(S, \rho)$ tiêu chuẩn $\alpha_1$ của Exer. 15.)

b) Suy ra từ a) rằng tồn tại một độ đo dương $\mu$ trên $T$ sao cho tất cả các độ đo $\nu \in H$ đều có cơ sở $\mu$ (dùng Exer. 4 b)).