Exercice 23, § 5

Soient $\mu$ une mesure positive sur un espace localement compact $T$, $p$ un nombre tel que $1 \leq p < +\infty$, $q$ l’exposant conjugué. Montrer que, si $g$ est une fonction mesurable finie telle que, pour toute fonction $f \in \mathscr{L}^p$, la fonction $fg$ soit intégrable, alors $g$ est localement presque partout égale à une fonction de $\mathscr{L}^q$. (Montrer que l’application $f \mapsto fg$ de $\mathscr{L}^p$ dans $\mathscr{L}^1$ est continue, en utilisant le th. du graphe fermé (Esp. vect. top., chap. I, § 3, cor. 5 du th. 1).)