Bài tập 23, § 5

Cho $\mu$ là một độ đo dương trên một không gian địa phương compact $T$, $p$ là một số sao cho $1 \leq p < +\infty$, và $q$ là số mũ liên hợp. Chứng minh rằng nếu $g$ là một hàm đo được hữu hạn sao cho, với mọi hàm $f \in \mathscr{L}^p$, hàm $fg$ là khả tích, thì $g$ bằng địa phương hầu khắp nơi với một hàm thuộc $\mathscr{L}^q$. (Chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto fg$ từ $\mathscr{L}^p$ vào $\mathscr{L}^1$ là liên tục, sử dụng định lý đồ thị đóng (TVS, I, §3, Hệ quả 5 của Định lý 1).)