Exercice 24, § 5

Soient $p, q$ deux exposants conjugués. Si $B$ (resp. $C$) est une partie bornée de $L^p$ (resp. $L^q$), montrer que l’application de $B \times C$ dans $L^1$ déduite de $(f, g) \mapsto fg$ par passage aux quotients, n’est pas nécessairement continue lorsqu’on munit $L^p, L^q$ et $L^1$ des topologies $\sigma(L^p, L^q), \sigma(L^q, L^p)$ et $\sigma(L^1, L^\infty)$ respectivement (cf. exerc. 10 d)).