Exercice 25, § 5

Intégration, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

a) Si $u$ et $v$ sont deux nombres réels quelconques, démontrer, pour $1 < p < +\infty$ , l’inégalité

|u + v|^p \leq |u|^p + puv|u|^{p-2} + a \sum_{r=2}^{[p]} |v|^r |u|^{p-r} + b|v|^p

où $a$ et $b$ sont deux constantes ne dépendant que de $p$ , et $[p]$ est la partie entière de $p$ (Fonct. var. réelle, chap. III, § 2, exerc. 6).

b) Soit $(\tilde{f}_n)$ une suite qui converge vers 0 dans $L^p$ pour la topologie affaiblie ( $1 < p < +\infty$ ). Montrer qu’il existe une suite $(f_{n_k})$ extraite de

(f_n) telle que, si on pose $s_m = \sum_{k=1}^m f_{n_k}$ , on ait

\left| \int s_{m-1} |s_{m-1}|^{p-2} f_{n_m} \, d\mu \right| \leq 1

(définir la suite

(n_k)

par récurrence). En déduire, en utilisant

a

et l’inégalité de Hölder que, si

p > 2

, il existe deux constantes,

a, b

telles que

N_1(|s_n|^p) \leq N_1(|s_{n-1}|^p) + a + b N_1(|s_{n-1}|^{p-2})

et que, si

1 < p \leq 2

, il existe une constante

c

telle que

N_1(|s_n|^p) \leq N_1(|s_{n-1}|^p) + c.

Conclure que l’on a

\begin{aligned} N_p(s_n) &= O(n^{1/2}) & \text{pour } p > 2 \\ N_p(s_n) &= O(n^{1/p}) & \text{pour } 1 \leq p \leq 2. \end{aligned}

c) Montrer que les résultats précédents ne peuvent être améliorés en général (cf. exerc. 19 d) et 20 b)).

Solution

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