Bài tập 25, § 5

a) Nếu $u$ và $v$ là hai số thực bất kỳ, hãy chứng minh, với $1 < p < +\infty$, bất đẳng thức

trong đó $a$ và $b$ là hai hằng chỉ phụ thuộc vào $p$, và $[p]$ là phần nguyên của $p$ (FRV, III, §2, Exer. 6).

b) Cho $(\tilde{f}_n)$ là một dãy hội tụ về 0 trong $L^p$ đối với tôpô yếu ($1 < p < +\infty$). Hãy chỉ ra rằng tồn tại một dãy con $(f_{n_k})$ của $(f_n)$ sao cho, khi đặt $s_m = \sum_{k=1}^m f_{n_k}$, ta có

(định nghĩa dãy $(n_k)$ một cách đệ quy). Suy ra từ đó, sử dụng a) và bất đẳng thức Hölder, rằng nếu $p > 2$ thì tồn tại hai hằng $a, b$ sao cho và rằng nếu $1 < p \leq 2$ thì tồn tại một hằng $c$ sao cho Kết luận rằng

c) Hãy chỉ ra rằng các kết quả trên nói chung không thể được cải thiện (xem Exers. 19 và 20 b)).