Exercice 26, § 5

Soient $\mu_1, \ldots, \mu_m$ des mesures en nombre fini sur un espace localement compact $T$, qu’on écrit sous la forme $\mu_k = f_k \cdot \mu$ où $\mu$ est une mesure $\geq 0$ et $|f_k| \leq 1$ (n° 9).

a) Soit $\Phi$ un ensemble de fonctions définies et positivement homogènes dans $\mathbf{R}^m$ et telles que $u(f_1, \ldots, f_m)$ soit localement $\mu$-intégrable pour toute fonction $u \in \Phi$. Montrer que, lorsqu’une suite $(u_n)$ de fonctions de $\Phi$ converge uniformément dans toute partie compacte de $\mathbf{R}^m$ vers une fonction $u, u(\mu_1, \ldots, \mu_m)$ est limite de la suite des mesures $u_n(\mu_1, \ldots, \mu_m)$ pour la topologie quasi-forte sur $\mathscr{M}(T)$ (chap. III, 2e éd., § 2, exerc. 8).

b) On suppose que $u \in \Phi$ est continue dans $\mathbf{R}^m$. Montrer que l’application $(\mu_1, \ldots, \mu_m) \mapsto u(\mu_1, \ldots, \mu_m)$ de $(\mathscr{M}(T))^m$ dans $\mathscr{M}(T)$ est continue pour la topologie quasi-forte (commencer par considérer le cas où $u$ est lipschitzienne; utiliser ensuite $a$ et le th. de Weierstrass-Stone).

c) On suppose que $u$ est continue dans $\mathbf{R}^m$. Soit $g$ une fonction quelconque de $\mathscr{K}(T)$, et $K$ son support. Pour tout $\varepsilon > 0$, montrer qu’il existe un recouvrement ouvert fini $(A_i)$ de $K$ formé d’ensembles relativement compacts, tel que pour tout recouvrement ouvert fini $(B_j)$ de $K$, plus fin que $(A_i)$, et toute famille $(h_j)$ d’applications continues de $T$ dans $[0, 1]$ telles que $h_j$ ait son support dans $B_j$ et que $\sum_j h_j(t) = 1$ dans $K$, on ait

(considérer d’abord le cas où $u$ est lipschitzienne et où les $f_k$ sont continues, puis passer au cas où $u$ est lipschitzienne et les $f_k$ localement intégrables, et enfin au cas général en utilisant le th. de Weierstrass-Stone).

d) Dans $\mathbf{R}^2$, soit $u(x_1, x_2)$ la fonction positivement homogène égale à $\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ quand $x_1/x_2$ est irrationnel, à 0 dans le cas contraire. Soit μ la mesure de Lebesgue sur T = {0, 1}, et soit ν la mesure sur T définie par dv(t) = t dμ(t). Montrer que, si g est une fonction continue et ≥0 dans T, $\sum_j u(\int gh_j d\mu, \int gh_j dv)$ ne tend vers aucune limite suivant l’ensemble filtrant des recouvrements ouverts finis du support de g.