Bài tập 26, § 5

Cho $\mu_1, \ldots, \mu_m$ là một số hữu hạn các độ đo trên một không gian compact địa phương T, mà ta có thể viết dưới dạng $\mu_k = f_k \cdot \mu$, trong đó $\mu$ là một độ đo $\geq 0$ và $|f_k| \leq 1$ (No. 9).

a) Cho $\Phi$ là một tập hợp các hàm được xác định và thuần nhất dương trên $\mathbf{R}^m$ và sao cho $u(f_1, \ldots, f_m)$ là khả tích địa phương theo $\mu$ đối với mọi hàm $u \in \Phi$. Chứng minh rằng nếu một dãy $(u_n)$ các hàm trong $\Phi$ hội tụ đều trên mọi tập con compact của $\mathbf{R}^m$ đến một hàm $u$, thì $u(\mu_1, \ldots, \mu_m)$ là giới hạn của dãy các độ đo $u_n(\mu_1, \ldots, \mu_m)$ đối với tôpô giả mạnh trên $\mathscr{M}(T)$ (Ch. III, §1, Exer. 8).

b) Giả sử rằng $u \in \Phi$ liên tục trên $\mathbf{R}^m$. Chứng minh rằng ánh xạ

từ $(\mathscr{M}(T))^m$ vào $\mathscr{M}(T)$ là liên tục đối với tôpô giả mạnh (bắt đầu bằng cách xét trường hợp $u$ là Lipschitz; sau đó dùng a) và định lý Stone–Weierstrass).

c) Giả sử rằng $u$ liên tục trên $\mathbf{R}^m$. Cho $g$ là một hàm bất kỳ trong $\mathscr{H}(T)$, và K là giá đỡ của nó. Với mọi $\varepsilon > 0$, chứng minh rằng tồn tại một phủ mở hữu hạn $(A_i)$ của K tạo bởi các tập hợp tương đối compact, sao cho đối với mọi phủ mở hữu hạn $(B_j)$ của K, mịn hơn $(A_i)$, và đối với mọi họ $(h_j)$ các ánh xạ liên tục từ T vào $[0, 1]$ sao cho $h_j$ có giá đỡ trong $B_j$ và sao cho $\sum_j h_j(t) = 1$ trên K, ta có

(xét trước tiên trường hợp $u$ là Lipschitz và các $f_k$ liên tục, sau đó chuyển sang trường hợp $u$ là Lipschitz và các $f_k$ khả tích địa phương, và cuối cùng là trường hợp tổng quát bằng cách dùng định lý Stone–Weierstrass).

d) Trong $\mathbf{R}^2$, cho $u(x_1, x_2)$ là hàm thuần nhất dương bằng $\sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ khi $x_1/x_2$ là vô tỉ, và bằng 0 trong trường hợp ngược lại. Cho $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $T = [0, 1]$, và cho $\nu$ là độ đo trên T được xác định bởi $d\nu(t) = t \, d\mu(t)$. Chứng minh rằng nếu $g$ là một hàm liên tục $\geq 0$ trên T, thì $\sum_j u(\int gh_j \, d\mu, \int gh_j \, d\nu)$ không tiến tới bất kỳ giới hạn nào đối với tập có hướng của các phủ mở hữu hạn của giá đỡ của $g$.