Exercice 27, § 5

Soient X un espace localement compact, $\Lambda : t \mapsto \lambda_t$ une application scalairement essentiellement μ-intégrable de T dans $\mathscr{M}_+(X)$. On suppose que Λ est pré-adéquate pour toute mesure $\varphi_K \cdot \mu$, où K est compact. a) Montrer que Λ est pré-adéquate pour toute mesure $\varphi_A \cdot \mu$, où A est une partie μ-mesurable de T (considérer les parties compactes de A). b) Montrer que Λ est pré-adéquate pour toute mesure $f \cdot \mu$, où f est positive, μ-mesurable, et ne prend qu’on nombre fini de valeurs. c) Montrer que Λ est pré-adéquate pour toute mesure $f \cdot \mu$, où f est μ-mesurable, comprise entre 0 et 1. En déduire que Λ est μ-adéquate.