Exercice 8, § 5

a) Soit $\nu$ une mesure atomique positive sur $T$, et soit $A$ une partie $\nu$-intégrable de $T$. Montrer que l’ensemble des valeurs de $\nu(X)$, lorsque $X$ parcourt l’ensemble des parties $\nu$-intégrables de $A$, est fermé dans $\mathbf{R}$. (Soit $N$ le plus petit ensemble portant $\nu$. En supposant $A \cap N$ infini et rangeant les points de $A \cap N$ en une suite $(a_n)$, considérer l’application $\varphi$ de l’espace produit $\{0, 1\}^N$ dans $\mathbf{R}$ définie par $\varphi((\varepsilon_n)) = \sum_n \varepsilon_n \nu(\{a_n\})$, et montrer qu’elle est continue.)

b) Déduire de a) et de l’exerc. 7b) que, si $\mu$ est une mesure positive quelconque sur $T$, $A$ une partie $\mu$-intégrable de $T$, l’ensemble des valeurs de $\mu(X)$, lorsque $X$ parcourt l’ensemble des parties $\mu$-intégrables de $A$, est fermé dans $\mathbf{R}$. Étendre ce résultat au cas où $\mu$ est une mesure réelle quelconque sur $T$.

c) Déduire de l’exerc. 7b) que, si $\mu$ est une mesure réelle diffuse sur $T$, l’ensemble des valeurs de $\mu(X) = \mu^+(X) - \mu^-(X)$, où $X$ parcourt l’ensemble des parties $|\mu|$-intégrables de $T$, est un intervalle fermé de $\mathbf{R}$ (borné ou non).

d) Donner un exemple de mesure positive atomique $\nu$ sur un espace localement compact et non compact $T$, telle que l’ensemble des valeurs de $\nu(X)$, où $X$ parcourt l’ensemble des parties $\nu$-intégrables de $T$, ne soit pas fermé (prendre $\nu$ telle que $\inf_{t \in T} \nu(\{t\}) > 0$).