Bài tập 8, § 5

a) Cho $\nu$ là một độ đo nguyên tử dương trên $T$, và cho $A$ là một tập con $\nu$-khả tích phân của $T$. Chứng minh rằng tập các giá trị của $\nu(X)$, khi $X$ chạy trên tập các tập con $\nu$-khả tích phân của $A$, là đóng trong $\mathbf{R}$. (Cho $M$ là tập hợp nhỏ nhất mang $\nu$. Giả sử $A \cap M$ vô hạn và sắp xếp các điểm của $A \cap M$ thành một dãy $(a_n)$, xét ánh xạ $\varphi$ từ không gian tích $\{0,1\}^\mathbf{N}$ vào $\mathbf{R}$ được xác định bởi $\varphi((\varepsilon_n)) = \sum_n \varepsilon_n \nu(\{a_n\})$, và chứng minh rằng nó liên tục.)

b) Suy ra từ $a$) và Bài tập 7 b) rằng nếu $\mu$ là một độ đo dương bất kỳ trên $T$, và $A$ là một tập con $\mu$-khả tích phân của $T$, thì tập các giá trị của $\mu(X)$, khi $X$ chạy trên tập các tập con $\mu$-khả tích phân của $A$, là đóng trong $\mathbf{R}$. Mở rộng kết quả này đến trường hợp $\mu$ là một độ đo thực bất kỳ trên $T$.

c) Suy ra từ Bài tập 7 b) rằng nếu $\mu$ là một độ đo thực khuếch tán trên $T$, thì tập các giá trị của $\mu(X) = \mu^+(X) - \mu^-(X)$, trong đó $X$ chạy trên tập các tập con $|\mu|$-khả tích phân của $T$, là một khoảng đóng của $\mathbf{R}$ (bị chặn hoặc không).

d) Cho một ví dụ về một độ đo nguyên tử dương $\nu$ trên một không gian địa phương compact không compact $T$, sao cho tập các giá trị của $\nu(X)$, trong đó $X$ chạy trên tập các tập con $\nu$-khả tích phân của $T$, không đóng (lấy $\nu$ sao cho $\inf_{t \in T} \nu(\{t\}) > 0$).