Exercice 12, § 6

a) Soit g une fonction numérique finie définie dans un intervalle compact I = $[a, b]$ de R. On appelle ensemble d’expansion à droite (resp. à gauche) de g dans I l’ensemble des $x \in I$ tels qu’il existe $y \in I$ pour lequel $x < y$ (resp. $x > y$) et $g(x) < g(y)$. Montrer que, si g est continue, l’ensemble d’expansion à droite (resp. à gauche) de g dans I est ouvert dans I, et que, si $[\alpha, \beta[$ est une composante connexe de cet ensemble, on a $g(\alpha) = g(\beta)$ et $g(x) \leq g(\alpha)$ pour $\alpha < x < \beta$.

b) Soient $r_1, r_2$ deux nombres réels tels que $0 \leq r_1 < r_2$. Soit g une fonction continue croissante dans I ; soit E’ l’ensemble d’expansion à gauche de $g(x) - r_1 x$ dans I, E'' la réunion des ensembles d’expansion à droite de $g(x) - r_2 x$ dans chacun des intervalles, adhérences des composantes connexes de E’. Si $\mu$ est la mesure de Lebesgue dans I, montrer, en utilisant a), que l’on a $\mu(E'') \leq \frac{r_1}{r_2} \mu(E')$.

c) On appelle nombres dérivés supérieur et inférieur à droite en un point $x \in I$, d’une fonction numérique finie f définie dans I, les nombres respectifs

De même, on appelle nombres dérivés supérieur et inférieur à gauche de $f$ au point $x$, les nombres respectifs

Montrer, si $f$ est continue et croissante, que l’ensemble des $x \in I$ où $D_d^+ f(x) = +\infty$ et l’ensemble des $x \in I$ où $D_g^- f(x) < D_d^+ f(x)$ sont de mesure nulle pour $\mu$ (pour tout nombre rationnel $r > 0$ (resp. tout-couple $(r_1, r_2)$ de nombres rationnels tels que $0 \leq r_1 < r_2$), considérer l’ensemble des $x \in I$ tels que $D_d^+ f(x) > r$ (resp. $D_g^- f(x) < r_1$ et $D_d^+ f(x) \geq r_2$ simultanément), et appliquer b)). En déduire que, pour presque tout $x \in I$, $f$ admet une dérivée finie (« théorème de Lebesgue ») (appliquer aussi le résultat précédent à $-f(-x)$).