Bài tập 12, § 6

a) Cho $g$ là một hàm số hữu hạn xác định trên một khoảng compact $I = [a, b]$ của $\mathbf{R}$. Ta gọi là tập khai triển phải (tương ứng tập khai triển trái) của $g$ trong $I$ tập hợp các $x \in I$ sao cho tồn tại $y \in I$ mà $x < y$ (tương ứng $x > y$) và $g(x) < g(y)$. Chứng minh rằng nếu $g$ liên tục, thì tập khai triển phải (tương ứng trái) của $g$ trong $I$ là mở trong $I$ và rằng, nếu $]\alpha, \beta[$ là một thành phần liên thông$^1$ của tập này, thì $g(\alpha) = g(\beta)$ và $g(x) \leq g(\alpha)$ với $\alpha < x < \beta$.

b) Cho $r_1, r_2$ là hai số thực sao cho $0 \leq r_1 < r_2$. Cho $g$ là một hàm liên tục tăng trên $I$; gọi $E'$ là tập khai triển trái của $g(x) - r_1 x$ trong $I$, $E''$ là hợp của các tập khai triển phải của $g(x) - r_2 x$ trong mỗi khoảng là bao đóng của các thành phần liên thông của $E'$. Nếu $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $I$, chứng minh, sử dụng a), rằng $\mu(E'') \leq \frac{r_1}{r_2} \mu(E')$.

c) Ta gọi các đạo hàm trên và dưới phải tại một điểm $x \in I$, của một hàm số hữu hạn $f$ xác định trên $I$, là các số tương ứng

Tương tự, ta gọi các đạo hàm trên và dưới trái của $f$ tại điểm $x$, là các số tương ứng

Chứng minh rằng nếu $f$ liên tục và tăng, thì tập hợp các $x \in I$ tại đó $D_r^+ f(x) = +\infty$ và tập hợp các $x \in I$ tại đó $D_l^- f(x) < D_r^+ f(x)$ có độ đo không đối với $\mu$ (với mỗi số hữu tỉ $r > 0$ (tương ứng với mỗi cặp $(r_1, r_2)$ các số hữu tỉ sao cho $0 \leq r_1 < r_2$), xét tập hợp các $x \in I$ sao cho $D_r^+ f(x) > r$ (tương ứng $D_l^- f(x) < r_1$ và $D_r^+ f(x) > r_2$ đồng thời), và áp dụng b)). Từ đó, suy ra rằng với hầu hết mọi $x \in I$, $f$ có một đạo hàm hữu hạn (định lý Lebesgue) (cũng áp dụng kết quả trước đó cho $-f(-x)$).

$^1$ Thành phần liên thông, cũng được dịch là “component” (GT, I, §11, No. 5).