Exercice 15, § 6

Désignant par $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$, on dit qu’un point $x \in \mathbf{R}$ est point de densité d’une partie $A$ de $\mathbf{R}$, si, lorsque $h$ et $k$ tendent vers 0 par valeurs $> 0$, le quotient $\mu^*(A \cap [x-h, x+k])/(h+k)$ tend vers 1. Montrer que l’ensemble des points d’une partie quelconque $A$ de $\mathbf{R}$ qui ne sont pas des points de densité de $A$ est négligeable pour $\mu$. (Se ramener au cas où $A$ est contenu dans un intervalle compact $[a, b]$, et considérer la fonction $s_A(x) = \mu^*(A \cap [a, x])$. Prendre une suite décroissante $(A_n)$ d’ensembles ouverts contenant $A$, telle que la série de terme général $s_{A_n}(x) - s_A(x)$ soit convergente dans $[a, b]$, et utiliser l’exerc. 13.)