Bài tập 15, § 6

Được ký hiệu bởi $\mu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$, một điểm $x \in \mathbf{R}$ được gọi là một điểm mật độ của một tập con $A$ của $\mathbf{R}$ nếu, khi $h$ và $k$ tiến tới 0 qua các giá trị $> 0$, thương $\mu^*(A \cap [x-h, x+k])/(h+k)$ tiến tới 1. Chứng minh rằng tập hợp các điểm của một tập con tùy ý $A$ của $\mathbf{R}$ không phải là các điểm mật độ của $A$ là không đáng kể đối với $\mu$. (Rút gọn về trường hợp $A$ được chứa trong một khoảng compact $[a, b]$, và xét hàm $s_A(x) = \mu^*(A \cap [a, x])$. Lấy một dãy giảm $(A_n)$ các tập mở chứa $A$, sao cho chuỗi có số hạng tổng quát $s_{A_n}(x) - s_A(x)$ là hội tụ trên $[a, b]$, và sử dụng Bài tập 13.)