Exercice 19, § 6

Soient T, X, Y des espaces localement compacts, $\pi : T \to X$, $\pi' : X \to Y$ des applications, $\pi'' = \pi' \circ \pi$, $\mu$ une mesure réelle sur T. Il peut arriver que $\pi$ soit $\mu$-propre, que $\pi'$ soit $\pi(\mu)$-propre, sans que $\pi''$ soit $\mu$-propre. (Prendre $T = \mathbf{R} \times \{0, 1\}$, $X = \mathbf{R}$, $Y = \{0\}$, $\pi = \mathrm{pr}_1$; prendre pour $\mu$ la mesure qui induit la mesure de Lebesgue (resp. l’opposée de la mesure de Lebesgue) sur $\mathbf{R} \times \{0\}$ (resp. $\mathbf{R} \times \{1\}$) identifié canoniquement à $\mathbf{R}$).