Exercice 3, § 6

Soient $T$ un espace localement compact non compact, $\mu$ une mesure positive sur $T$, $G$ le groupe des homéomorphismes de $T$. Donner un exemple montrant que l’application $\pi \mapsto \pi(\mu)$ de $G$ dans $\mathscr{M}(T)$ n’est pas nécessairement continue lorsqu’on munit $G$ de la topologie de la convergence compacte et $\mathscr{M}(T)$ de la topologie vague (prendre pour T le sous-espace de $\mathbf{R}$ formé de 0 et des points $n$ et $1/n$ ($n$ entier $\geqslant 1$), et pour $\mu$ la mesure définie par $\mu(\{0\}) = 0,\ \mu(\{1/n\}) = 1/n^2,\ \mu(\{n\}) = 1$.