Bài tập 3, § 6

Cho T là một không gian địa phương compact không compact, $\mu$ một độ đo dương trên T, và $\mathscr{G}$ là nhóm các tự đồng phôi của T. Hãy cho một ví dụ chỉ ra rằng ánh xạ $\pi \mapsto \pi(\mu)$ của $\mathscr{G}$ vào $\mathscr{M}(T)$ không nhất thiết liên tục khi $\mathscr{G}$ được trang bị tôpô hội tụ compact và $\mathscr{M}(T)$ được trang bị tôpô mơ hồ (lấy T là không gian con của $\mathbf{R}$ được tạo bởi 0 và các điểm n và $1/n$ ($n$ là một số nguyên $\geqslant 1$) và lấy $\mu$ là độ đo được xác định bởi $\mu(\{0\}) = 0, \mu(\{1/n\}) = 1/n^2, \mu(\{n\}) = 1$).