Exercice 5, § 6

a) Soient $\rho$ et $\sigma$ deux mesures positives sur $\mathbf{R}$. Montrer que, si on a $\rho([a,b]) = \sigma([a,b])$ pour tout intervalle semi-ouvert $]a,b]$, on a $\rho = \sigma$.

b) Soit I un intervalle de $\mathbf{R}$, d’origine $\alpha$ et d’extrémité $\beta$, et soit $\psi$ une fonction numérique finie croissante définie dans I; on prolonge $\psi$ à $\mathbf{R}$ de façon arbitraire. Pour que $\psi$ soit propre pour la mesure $\varphi_1.\mu$ ($\mu$ mesure de Lebesgue sur $\mathbf{R}$), il faut et il suffit que l’on ait les deux conditions suivantes: 1° ou bien $\alpha$ est fini, ou bien $\alpha = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} \psi(x) = -\infty$; 2° ou bien $\beta$ est fini, ou bien $\beta = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \psi(x) = +\infty$.

Supposons ces conditions vérifiées. Pour tout $y \in \mathbf{R}$, soit $\theta(y)$ la borne supérieure de l’ensemble des $x \in I$ tels que $\psi(x) \leq y$ (borne égale à $\alpha$ si cet ensemble est vide). Montrer que $\theta$ est une fonction numérique finie, croissante et continue à droite dans $\mathbf{R}$. Si $v$ est l’image de $\varphi_1.\mu$ par $\psi$, on a $v([a,b]) = \theta(b) - \theta(a)$ pour tout intervalle semi-ouvert $]a,b]$ dans $\mathbf{R}$.

c) Inversement, montrer que pour toute fonction numérique finie $\theta$, croissante et continue à droite dans $\mathbf{R}$, il existe sur $\mathbf{R}$ une mesure positive $v$ et une seule telle que $v([a,b]) = \theta(b) - \theta(a)$ pour tout intervalle semi-ouvert $]a,b]$ de $\mathbf{R}$ (« mesure de Stieltjes sur $\mathbf{R}$ définie par $\theta$ »; on écrit $\int f d\theta$ au lieu de $\int f dv$); en outre, toute mesure positive sur $\mathbf{R}$ peut être obtenue de cette manière. À quelle condition la mesure $v$ est-elle diffuse? Quelle est alors l’image de $v$ par $\theta$?