Bài tập 5, § 6

a) Cho $\rho$ và $\sigma$ là hai độ đo dương trên $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng nếu $\rho([a, b]) = \sigma([a, b])$ với mọi khoảng nửa mở $]a, b]$, thì $\rho = \sigma$.

b) Cho I là một khoảng của $\mathbf{R}$, với điểm đầu trái $\alpha$ và điểm đầu phải $\beta$, và cho $\psi$ là một hàm số hữu hạn tăng xác định trên I; mở rộng $\psi$ lên $\mathbf{R}$ bằng một cách tùy ý nào đó. Để $\psi$ thực sự đối với độ đo $\varphi_I \cdot \mu$ ($\mu$ là độ đo Lebesgue trên $\mathbf{R}$), điều kiện cần và đủ là hai điều kiện sau được thỏa mãn: 1° hoặc $\alpha$ là hữu hạn, hoặc $\alpha = -\infty$ và $\lim_{x \to -\infty} \psi(x) = -\infty$; 2° hoặc $\beta$ là hữu hạn, hoặc $\beta = +\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} \psi(x) = +\infty$.

Giả sử các điều kiện này được thỏa mãn. Với mọi $y \in \mathbf{R}$, gọi $\theta(y)$ là cận trên đúng của tập hợp các $x \in I$ sao cho $\psi(x) \leq y$ (cận trên đúng bằng $\alpha$ nếu tập hợp này rỗng). Chứng minh rằng $\theta$ là một hàm số hữu hạn, tăng và liên tục phải trên $\mathbf{R}$. Nếu $\nu$ là ảnh của $\varphi_I \cdot \mu$ qua $\psi$, thì $\nu([a, b]) = \theta(b) - \theta(a)$ với mọi khoảng nửa mở $]a, b]$ trong $\mathbf{R}$.

c) Ngược lại, chứng minh rằng với mọi hàm số hữu hạn $\theta$, tăng và liên tục phải trên $\mathbf{R}$, tồn tại duy nhất một độ đo dương $\nu$ trên $\mathbf{R}$ sao cho $\nu([a, b]) = \theta(b) - \theta(a)$ với mọi khoảng nửa mở $]a, b]$ của $\mathbf{R}$ (độ đo Stieltjes trên $\mathbf{R}$ xác định bởi $\theta$; người ta viết $\int f \, d\theta$ thay cho $\int f \, d\nu$); hơn nữa, mọi độ đo dương trên $\mathbf{R}$ đều có thể thu được theo cách này. Điều kiện nào để độ đo $\nu$ là khuếch tán? Khi đó ảnh của $\nu$ qua $\theta$ là gì?