Exercice 10, § 8

Soient $T$ et $X$ deux espaces localement compacts, $\lambda$ une mesure positive sur $T$, $\mu$ une mesure positive bornée sur $X$ telle que $\mu(X) = 1$. Soit $f$ une fonction numérique $> 0$ en tout point de $T \times X$, intégrable ainsi que $\log f$ pour la mesure $\lambda \otimes \mu$. Démontrer l’inégalité

et montrer que l’égalité ne peut avoir lieu que lorsque $f$ est équivalente à une fonction de la forme $g \otimes h$ (appliquer l’inégalité de la moyenne géométrique (chap. IV, § 6, exerc. 7 d)) pour tout $t \in T$, à la fonction $x \mapsto f(t, x)/(\int f(t, x)\ d\lambda(t))$.