Bài tập 10, § 8

Cho T và X là hai không gian compact địa phương, $\lambda$ là một độ đo dương trên T, $\mu$ là một độ đo dương bị chặn trên X sao cho $\mu(X) = 1$. Cho $f$ là một hàm số $> 0$ tại mọi điểm của $T \times X$, khả tích cùng với $\log f$ đối với độ đo $\lambda \otimes \mu$. Chứng minh bất đẳng thức

và chỉ ra rằng đẳng thức không thể xảy ra trừ khi $f$ tương đương với một hàm có dạng $g \otimes h$ (áp dụng bất đẳng thức của trung bình hình học (Chương IV, §6, Bài tập 7 d)), với mọi $t \in T$, cho hàm $x \mapsto f(t, x)/(\int f(t, x)\, d\lambda(t))$.