Exercice 11, § 8

Intégration, V

Soient $p$ un nombre réel fini et $\geq 1$ , $T$ et $X$ deux espaces localement compacts, $\lambda$ une mesure positive sur $T$ , $\mu$ une mesure positive sur $X$ , $f$ une fonction $\geq 0$ définie dans $T \times X$ , intégrable ainsi que $f^p$ pour la mesure $\lambda \otimes \mu$ . Démontrer l’inégalité

\left( \int^* \left( \int f d\mu \right)^p d\lambda \right)^{1/p} \leq \int^* \left( \int f^p d\lambda \right)^{1/p} d\mu.

(Pour tout $t \in T$ , appliquer l’inégalité de Hölder à la fonction $x \mapsto f(t, x)$ , mise sous la forme

f(t, x) = g(t, x) \left( \int f^p(t, x) d\lambda(t) \right)^{1/pq}

où $q$ est l’exposant conjugué de $p$ ). Montrer que l’égalité ne peut avoir lieu que lorsque $f$ est équivalente à une fonction de la forme $g \otimes h$ .

Solution

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