Bài tập 11, § 8

Cho $p$ là một số thực hữu hạn $\geq 1$, T và X là hai không gian compact địa phương, $\lambda$ là một độ đo dương trên T, $\mu$ là một độ đo dương trên X, và $f$ là một hàm $\geq 0$ xác định trên $T \times X$, khả tích cùng với $f^p$ đối với độ đo $\lambda \otimes \mu$. Chứng minh bất đẳng thức

(Với mọi $t \in T$, áp dụng bất đẳng thức Hölder cho hàm $x \mapsto f(t, x)$, đưa về dạng

trong đó $q$ là số mũ liên hợp của $p$.) Chỉ ra rằng đẳng thức không thể xảy ra trừ khi $f$ tương đương với một hàm có dạng $g \otimes h$.