Exercice 12, § 8

Soient $T_i$ ($1 \leq i \leq n$) $n$ espaces localement compacts, $\mu_i$ une mesure positive sur $T_i$ pour $1 \leq i \leq n$. Pour chaque indice $i$, on désigne par $E_i$ le produit $\prod_{j \neq i} T_j$; soit $f_i$ une fonction $\geq 0$, mesurable pour $\mu = \bigotimes_{i=1}^n \mu_i$ dans $T = \prod_{i=1}^n T_i$, et ne dépendant pas de $t_i$; montrer que si, pour $1 \leq k \leq n$, la fonction $f_k^{n-1}$ est intégrable pour la mesure $\mu_1 \otimes \ldots \otimes \mu_{k-1} \otimes \mu_{k+1} \otimes \ldots \otimes \mu_n$, alors $f_1 f_2 \ldots f_n$ est $\mu$-intégrable, et on a

en posant, pour chaque indice $k$, $J_k = \int f_k^{n-1} d\mu_1 \ldots d\mu_{k-1} d\mu_{k+1} \ldots d\mu_n$ (procéder par récurrence sur $n$, en appliquant le th. de Lebesgue-Fubini et l’inégalité de Hölder).

En déduire que, si $A$ est une partie $\mu$-mesurable de $T$, $A_i$ sa projection sur $E_i$, et si $A_i$ est intégrable et de mesure $m_i$ (pour la mesure $\bigotimes_{j \neq i} \mu_j$ sur $E_i$), $A$ est $\mu$-intégrable, et on a

Examiner les cas d’égalité dans ces deux inégalités.

Généraliser au cas où, au lieu de considérer les $n$ produits de $n-1$ des $T_i$, on considère les $\binom{n}{p}$ produits de $p$ des $T_i$, et où on intègre dans $T$ un produit de $\binom{n}{p}$ fonctions $\geq 0$ dont chacune de dépend que de $p$ des variables $t_i$. Par exemple, si $F_{ij} = T_i \times T_j$ ($i < j$), et si $f_{ij}$ ne dépend que des variables $t_i$ et $t_j$, montrer que