Bài tập 12, § 8

Cho $T_i$ ($1 \leq i \leq n$) là $n$ không gian compact địa phương, $\mu_i$ là một độ đo dương trên $T_i$ với $1 \leq i \leq n$. Với mỗi chỉ số $i$, ký hiệu $E_i$ là tích $\prod_{j \neq i} T_j$; cho $f_i$ là một hàm $\geq 0$ trên $T = \prod_{i=1}^n T_i$, đo được đối với $\mu = \bigotimes_{i=1}^n \mu_i$ và không phụ thuộc vào $t_i$; chứng minh rằng nếu, với $1 \leq k \leq n$, hàm $f_k^{n-1}$ là khả tích đối với độ đo $\mu_1 \otimes \cdots \otimes \mu_{k-1} \otimes \mu_{k+1} \otimes \cdots \otimes \mu_n$, thì $f_1 f_2 \cdots f_n$ là $\mu$-khả tích, và

trong đó, với mỗi chỉ số $k$, đặt $J_k = \int f_k^{n-1} d\mu_1 \cdots d\mu_{k-1} d\mu_{k+1} \cdots d\mu_n$ (tiến hành bằng quy nạp theo $n$, áp dụng định lý Lebesgue–Fubini và bất đẳng thức Hölder).

Suy ra từ điều này rằng nếu $A$ là một tập con $\mu$-đo được của $T$, $A_i$ là phép chiếu của nó trên $E_i$, và nếu $A_i$ là khả tích và có độ đo $m_i$ (đối với độ đo $\bigotimes_{j \neq i} \mu_j$ trên $E_i$), thì $A$ là $\mu$-khả tích và

Xét trường hợp xảy ra đẳng thức trong hai bất đẳng thức này.

Tổng quát hóa cho trường hợp mà, thay vì xét $n$ tích của $n-1$ trong các $T_i$, ta xét $\binom{n}{p}$ tích của $p$ trong các $T_i$, và trong đó ta lấy tích phân trên $T$ một tích của $\binom{n}{p}$ hàm $\geq 0$, mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào $p$ trong các biến $t_i$. Ví dụ, nếu $F_{ij} = T_i \times T_j$ ($i < j$) và nếu $f_{ij}$ chỉ phụ thuộc vào các biến $t_i$ và $t_j$, chứng minh rằng