Exercice 13, § 8

Soit $(T_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces compacts, et pour chaque $i \in I$, soit $\mu_i$ une mesure positive sur $T_i$, de masse totale égale à 1. Soient $T$ l’espace produit $\prod_{i \in I} T_i$ et $\mu$ la mesure produit $\bigotimes_{i \in I} \mu_i$ sur $T$ (chap. III, 2e éd., § 4, n° 5).

a) Pour tout $\iota \in I$, soit $K_\iota$ une partie compacte de $T_\iota$; montrer que, si $K = \prod_{\iota \in I} K_\iota$, on a $\mu(K) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(K_\iota)$.

b) Soit $M$ une partie compacte de $T$. Montrer qu’il existe une partie dénombrable $J$ de $I$ telle que, si on pose $H = I - J$, $T_J = \prod_{\iota \in J} T_\iota$, $\mu_J = \bigotimes_{\iota \in J} \mu_\iota$, $T_H = \prod_{\iota \in H} T_\iota$, on a $M \subset N \times T_H$, où $N$ est une partie $\mu_J$-mesurable de $T_J$, telle que $\mu_J(N) = \mu(M)$. (Remarquer que, pour tout $n > 0$, il existe un voisinage ouvert de $M$, réunion d’un nombre fini d’ensembles élémentaires, dont la mesure diffère de $\mu(M)$ de moins de $1/n$.) En déduire que, pour presque tout $x \in N$, la coupe $M(x) \subset T_H$ (quand on identifie $T$ au produit $T_J \times T_H$) contient le produit des supports des mesures $\mu_\iota$ pour $\iota \in H$ (utiliser le th. de Lebesgue-Fubini).

c) Montrer que, si $I$ est dénombrable et si, pour tout $\iota \in I$, $A_\iota$ est une partie $\mu_\iota$-mesurable de $T_\iota$, l’ensemble $A = \prod_{\iota \in I} A_\iota$ est $\mu$-mesurable, et on a $\mu(A) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota)$.

d) On suppose $I$ non dénombrable. Pour tout $\iota \in I$, soit $A_\iota$ une partie $\mu_\iota$-mesurable de $T_\iota$. Pour que $A = \prod_{\iota \in I} A_\iota$ soit $\mu$-mesurable, il faut et il suffit que l’on soit dans l’un des deux cas suivants : $1^\circ \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota) = 0$; $2^\circ$ $A_\iota$ contient le support de la mesure $\mu_\iota$, sauf peut-être pour les indices $\iota$ d’une partie dénombrable de $I$. Dans chacun des deux cas, on a $\mu(A) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota)$. (Supposant qu’on n’est dans aucun des deux cas précédents, montrer qu’on peut se ramener au cas où $\mu_\iota(A_\iota) = 1$ pour tout $\iota \in I$. En utilisant b), montrer que ni $A$ ni $T - A$ ne peut contenir d’ensemble compact de mesure non nulle.)