Bài tập 13, § 8

Cho $(T_\iota)_{\iota \in I}$ là một họ các không gian compact, và với mỗi $\iota \in I$, cho $\mu_\iota$ là một độ đo dương trên $T_\iota$ có khối lượng toàn phần bằng 1. Cho $T$ là không gian tích $\prod_{\iota \in I} T_\iota$, và $\mu$ là độ đo tích $\bigotimes_{\iota \in I} \mu_\iota$ trên $T$ (Ch. III, §4, No. 5).

a) Với mọi $\iota \in I$, cho $K_\iota$ là một tập con compact của $T_\iota$; chứng minh rằng nếu $K = \prod_{\iota \in I} K_\iota$ thì $\mu(K) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(K_\iota)$.

b) Cho $M$ là một tập con compact của $T$. Chứng minh rằng tồn tại một tập con đếm được $J$ của $I$ sao cho, đặt $H = I - J$, $T_J = \prod_{\iota \in J} T_\iota$, $\mu_J = \bigotimes_{\iota \in J} \mu_\iota$, $T_H = \prod_{\iota \in H} T_\iota$, ta có $M \subset N \times T_H$, trong đó $N$ là một tập con $\mu_J$-đo được của $T_J$ sao cho $\mu_J(N) = \mu(M)$. (Nhận xét rằng với mọi $n > 0$, tồn tại một lân cận mở của $M$, là hợp của một số hữu hạn các tập hợp sơ cấp, mà độ đo của nó sai khác với $\mu(M)$ ít hơn $1/n$.) Từ đó, suy ra rằng với hầu khắp mọi $x \in N$, tiết diện $M(x) \subset T_H$ (khi $T$ được đồng nhất với tích $T_J \times T_H$) chứa tích của các giá của các độ đo $\mu_\iota$ với $\iota \in H$ (sử dụng định lý Lebesgue–Fubini).

c) Chứng minh rằng nếu $I$ là đếm được và nếu, với mỗi $\iota \in I$, $A_\iota$ là một tập con $\mu_\iota$-đo được của $T_\iota$, thì tập hợp $A = \prod_{\iota \in I} A_\iota$ là $\mu$-đo được và $\mu(A) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota)$.

d) Giả sử rằng $I$ là không đếm được. Với mọi $\iota \in I$, cho $A_\iota$ là một tập con $\mu_\iota$-đo được của $T_\iota$. Để $A = \prod_{\iota \in I} A_\iota$ là $\mu$-đo được, điều kiện cần và đủ là phải thuộc một trong hai trường hợp sau: $1^\circ \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota) = 0$; $2^\circ$ $A_\iota$ chứa giá của độ đo $\mu_\iota$, ngoại trừ có thể đối với các chỉ số $\iota$ của một tập con đếm được của $I$. Trong mỗi trường hợp trong hai trường hợp này, $\mu(A) = \prod_{\iota \in I} \mu_\iota(A_\iota)$. (Giả sử rằng ta không ở trong một trong hai trường hợp trước đó, hãy chứng minh rằng có thể rút gọn về trường hợp $\mu_\iota(A_\iota) = 1$ với mọi $\iota \in I$. Dùng $b$), hãy chứng minh rằng cả $A$ lẫn $T - A$ đều không thể chứa một tập compact có độ đo khác không.)