Exercice 14, § 8

Soient $K$ l’intervalle $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$, $\lambda$ la mesure de Lebesgue sur $K$, $A$ un ensemble non dénombrable, $\mu$ la mesure sur $T = K^A$ produit de la mesure $\lambda$ sur chacun des facteurs.

a) Montrer que tout sous-espace fermé et métrisable $X$ de $T$ est $\mu$-négligeable (utiliser l’exerc. 13 b) ci-dessus, et l’exerc. 11 de Top. gén., chap. IX, § 2).

b) Soient $Y$ un espace localement compact admettant une base dénombrable, $\nu$ une mesure positive sur $Y$, $\pi$ une application $\nu$-propre de $Y$ dans $T$. Montrer que l’image $\pi(\nu)$ est étrangère à $\mu$ (en utilisant a), montrer que $\pi(\nu)$ est concentrée sur un ensemble $\mu$-négligeable).