Bài tập 14, § 8

Cho $K$ là khoảng $[0,1]$ của $\mathbf{R}$, $\lambda$ là độ đo Lebesgue trên $K$, $A$ là một tập hợp không đếm được, và $\mu$ là độ đo trên $T = K^A$ là tích của độ đo $\lambda$ trên mỗi thừa số.

a) Chứng minh rằng mọi không gian con X đóng và mêtric hóa được của T đều là $\mu$-không đáng kể (sử dụng Bài tập 13 b) ở trên, và Bài tập 8 của GT, IX, §2).

b) Cho Y là một không gian địa phương compact thừa nhận một cơ sở đếm được, $\nu$ là một độ đo dương trên Y, và $\pi$ là một ánh xạ $\nu$-thực sự của Y vào T. Chứng minh rằng ảnh $\pi(\nu)$ là xa lạ với $\mu$ (dùng a), chứng minh rằng $\pi(\nu)$ tập trung trên một tập hợp $\mu$-không đáng kể).