Exercice 16, § 8

Soit $(T_n)$ une suite infinie d’espaces compacts, $\mu_n$ une mesure positive de masse totale égale à 1 sur $T_n$, $\mu$ la mesure produit $\bigotimes_{n=1}^\infty \mu_n$ sur $T = \prod_{n=1}^\infty T_n$.

a) Soit $f$ une fonction $\geqslant 0$, $\mu$-intégrable dans T. Soit $(L_n)$ une suite croissante de parties de $\mathbf{N}$, et en posant $M_n = \mathbf{N} - L_n$, soit $g = \sup_{n} f_{L_n}$, $h = \sup f_{M_n}$ (notations de l’exerc. 15). Pour tout $\alpha > 0$, soit $A_\alpha$ l’ensemble des points $t \in T$ où $g(t) > \alpha$, $B_\alpha$ l’ensemble des points $t \in T$ où $h(t) > \alpha$. Montrer que $\alpha . \mu(A_\alpha) \leqslant \int f\,d\mu$ et $\alpha . \mu(B_\alpha) \leqslant \int f\,d\mu$. (Remarquer que $A_\alpha$ est l’ensemble des $t \in T$ où au moins un des $f_{L_n}(t)$ est $> \alpha$, et l’exprimer comme réunion dénombrable d’ensembles $G_n$, deux à deux sans point commun, et tels que $\alpha . \mu(G_n) \leqslant \int_{G_n} f\,d\mu$).

b) On suppose que $(L_n)$ est une suite croissante de parties finies de $\mathbf{N}$, dont la réunion est $\mathbf{N}$. Montrer que $f_{L_n}$ tend presque partout vers $f$, et que $f_{M_n}$ tend presque partout vers la constante $\int f\,d\mu$ dans T. (Pour tout $\varepsilon > 0$, considérer une fonction continue $g$ ne dépendant que d’un nombre fini de variables et telle que $\int |f - g|\,d\mu \leqslant \varepsilon$, et appliquer a) à la fonction $|f - g|$).